反比例のグラフ上の整数の点は何個？

解説

1. $4=\dfrac{a}{3}$ より $a=12$

   通る点を代入して比例定数を出す。4＝a÷3 だから a＝12。

2. $xy=12$

   反比例は x×y が一定で 12。かけて12になる整数の組を探す。

3. $x=1,2,3,4,6,12$ の6個

   xが正なら12の約数で6個。

4. $x<0$ でも6個 → 計12個

   負×負でも12。負の側にも6個。整数の点は比例定数の約数で探す。

ポイント

• まず、通る点 $(3,\,4)$ を代入して比例定数を求めます。$4=\dfrac{a}{3}$ より $a=12$ です。
• 反比例では $x\times y$ がいつも比例定数に等しいので、$xy=12$ となる整数の組を探せばよいとわかります。
• $x$ が正のとき、$x$ は $12$ の約数 $1,2,3,4,6,12$ の6個で、それぞれ $y=12,6,4,3,2,1$ と整数になります。
• $x$ が負のときも、負×負は正なので $x=-1,-2,-3,-4,-6,-12$ の6個があり、合わせて $6+6=12$ 個です。

よくある間違い

• $x$ が正の場合だけを数えて「6個」と答えてしまう間違いです。反比例のグラフは2つの曲線に分かれているので、負の側（$x<0$）も必ず確認しましょう。
• 約数を書き出すときに数え漏れることがあります。$1\times12,\ 2\times6,\ 3\times4$ のように、かけ算のペアで小さい方から順に書き出すと漏れを防げます。