コイン400回で表220回以上の確率は？

解説

1. $X \sim B\left(400,\ \frac{1}{2}\right)$

   回数が多い二項分布は正規分布で近似。表の回数は400回・確率1/2の二項分布。

2. $m=400\times\frac{1}{2}=200$

   平均はnpで、400×1/2＝200。

3. $\sigma=\sqrt{400\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=10$

   分散はnp(1−p)＝100、標準偏差は10。

4. $Z=\frac{X-200}{10}\ \Rightarrow\ Z\geqq 2$

   表を使うため、平均を引き標準偏差で割る。220は20÷10で、Zが2以上。

5. $P(Z\geqq 2)=0.5-0.4772$

   右半分の0.5から0.4772を引く。平均と標準偏差を出して標準化が合言葉。

ポイント

• 二項分布 $B(n,\ p)$ の平均は $m=np$、分散は $np(1-p)$ です。この問題では $m=400\times\frac{1}{2}=200$、分散は $100$ なので、標準偏差は $\sigma=\sqrt{100}=10$ です。
• $n$ が大きいとき、$X$ は近似的に正規分布 $N(200,\ 10^2)$ に従います。そこで $Z=\frac{X-200}{10}$ と標準化すると、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,\ 1)$ に従います。
• $X\geqq 220$ は $Z\geqq \frac{220-200}{10}=2$ と言いかえられます。標準正規分布は $Z=0$ を中心に左右対称なので、右半分の確率は $0.5$ です。
• したがって $P(Z\geqq 2)=0.5-P(0\leqq Z\leqq 2)=0.5-0.4772=0.0228$ となります。

よくある間違い

• 分散 $np(1-p)=100$ をそのまま標準偏差として割ってしまうミスがあります。標準化では必ず $\sqrt{\ }$ をとった標準偏差 $\sigma=10$ で割りましょう。
• $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ をそのまま答えにしたり、$1-0.4772$ を計算したりするミスがあります。求めたいのは $Z\geqq 2$ の部分なので、右半分の $0.5$ から引きます。図をかいて、どの部分の面積かを確認すると防げます。